Integraal van $$$\ln\left(1 - x\right)$$$

Bepaal $$$\int \ln\left(1 - x\right)\, dx$$$.

Zij $$$u=1 - x$$$.

Dan $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = - du$$$.

Dus,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=-1$$$ en $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

Voor de integraal $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$, gebruik partiële integratie $$$\int \operatorname{\mu} \operatorname{dv} = \operatorname{\mu}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\mu}$$$.

Zij $$$\operatorname{\mu}=\ln{\left(u \right)}$$$ en $$$\operatorname{dv}=du$$$.

Dan $$$\operatorname{d\mu}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (de stappen zijn te zien ») en $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (de stappen zijn te zien »).

De integraal kan worden herschreven als

$$- {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=- {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

Pas de constantenregel $$$\int c\, du = c u$$$ toe met $$$c=1$$$:

$$- u \ln{\left(u \right)} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - u \ln{\left(u \right)} + {\color{red}{u}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=1 - x$$$:

$${\color{red}{u}} - {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = {\color{red}{\left(1 - x\right)}} - {\color{red}{\left(1 - x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(1 - x\right)}} \right)}$$

Dus,

$$\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x} = - x - \left(1 - x\right) \ln{\left(1 - x \right)} + 1$$

Vereenvoudig:

$$\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x} = \left(x - 1\right) \left(\ln{\left(1 - x \right)} - 1\right)$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x} = \left(x - 1\right) \left(\ln{\left(1 - x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(1 - x\right)\, dx = \left(x - 1\right) \left(\ln\left(1 - x\right) - 1\right) + C$$$A