Integraal van $$$e^{- 2 t}$$$

Bepaal $$$\int e^{- 2 t}\, dt$$$.

Zij $$$u=- 2 t$$$.

Dan $$$du=\left(- 2 t\right)^{\prime }dt = - 2 dt$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dt = - \frac{du}{2}$$$.

De integraal wordt

$${\color{red}{\int{e^{- 2 t} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=- \frac{1}{2}$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

We herinneren eraan dat $$$u=- 2 t$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{2} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 2 t\right)}}}}{2}$$

Dus,

$$\int{e^{- 2 t} d t} = - \frac{e^{- 2 t}}{2}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{- 2 t} d t} = - \frac{e^{- 2 t}}{2}+C$$

$$$\int e^{- 2 t}\, dt = - \frac{e^{- 2 t}}{2} + C$$$A