Integraal van $$$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$$$

Bepaal $$$\int \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}\, dx$$$.

Zij $$$u=- \frac{1}{x}$$$.

Dan $$$du=\left(- \frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x^{2}}$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$\frac{dx}{x^{2}} = du$$$.

De integraal kan worden herschreven als

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=- \frac{1}{x}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(- \frac{1}{x}\right)}}}$$

Dus,

$$\int{\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x} = e^{- \frac{1}{x}}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x} = e^{- \frac{1}{x}}+C$$

$$$\int \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}\, dx = e^{- \frac{1}{x}} + C$$$A