Integraal van $$$e^{\frac{x}{2}}$$$

Bepaal $$$\int e^{\frac{x}{2}}\, dx$$$.

Zij $$$u=\frac{x}{2}$$$.

Dan $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = 2 du$$$.

Dus,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=2$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=\frac{x}{2}$$$:

$$2 e^{{\color{red}{u}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}}}$$

Dus,

$$\int{e^{\frac{x}{2}} d x} = 2 e^{\frac{x}{2}}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{\frac{x}{2}} d x} = 2 e^{\frac{x}{2}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 e^{\frac{x}{2}} + C$$$A