Integraal van $$$e^{\frac{u}{v}}$$$ met betrekking tot $$$u$$$

Bepaal $$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du$$$.

Zij $$$w=\frac{u}{v}$$$.

Dan $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$du = v dw$$$.

Dus,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{v}} d u}}} = {\color{red}{\int{v e^{w} d w}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ toe met $$$c=v$$$ en $$$f{\left(w \right)} = e^{w}$$$:

$${\color{red}{\int{v e^{w} d w}}} = {\color{red}{v \int{e^{w} d w}}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{w} d w} = e^{w}$$$:

$$v {\color{red}{\int{e^{w} d w}}} = v {\color{red}{e^{w}}}$$

We herinneren eraan dat $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v e^{{\color{red}{w}}} = v e^{{\color{red}{\frac{u}{v}}}}$$

Dus,

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du = v e^{\frac{u}{v}} + C$$$A