Integraal van $$$e^{7 y}$$$

Bepaal $$$\int e^{7 y}\, dy$$$.

Zij $$$u=7 y$$$.

Dan $$$du=\left(7 y\right)^{\prime }dy = 7 dy$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dy = \frac{du}{7}$$$.

Dus,

$${\color{red}{\int{e^{7 y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{7} d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=\frac{1}{7}$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{7} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{7}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{7} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{7}$$

We herinneren eraan dat $$$u=7 y$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{7} = \frac{e^{{\color{red}{\left(7 y\right)}}}}{7}$$

Dus,

$$\int{e^{7 y} d y} = \frac{e^{7 y}}{7}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{7 y} d y} = \frac{e^{7 y}}{7}+C$$

$$$\int e^{7 y}\, dy = \frac{e^{7 y}}{7} + C$$$A