Integraal van $$$\left(t^{2} - 1\right) e^{- t}$$$

Bepaal $$$\int \left(t^{2} - 1\right) e^{- t}\, dt$$$.

Voor de integraal $$$\int{\left(t^{2} - 1\right) e^{- t} d t}$$$, gebruik partiële integratie $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Zij $$$\operatorname{u}=t^{2} - 1$$$ en $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$.

Dan $$$\operatorname{du}=\left(t^{2} - 1\right)^{\prime }dt=2 t dt$$$ (de stappen zijn te zien ») en $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$ (de stappen zijn te zien »).

De integraal wordt

$${\color{red}{\int{\left(t^{2} - 1\right) e^{- t} d t}}}={\color{red}{\left(\left(t^{2} - 1\right) \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot 2 t d t}\right)}}={\color{red}{\left(- \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - \int{\left(- 2 t e^{- t}\right)d t}\right)}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ toe met $$$c=-2$$$ en $$$f{\left(t \right)} = t e^{- t}$$$:

$$- \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - {\color{red}{\int{\left(- 2 t e^{- t}\right)d t}}} = - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - {\color{red}{\left(- 2 \int{t e^{- t} d t}\right)}}$$

Voor de integraal $$$\int{t e^{- t} d t}$$$, gebruik partiële integratie $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Zij $$$\operatorname{u}=t$$$ en $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$.

Dan $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (de stappen zijn te zien ») en $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$ (de stappen zijn te zien »).

Dus,

$$- \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{t e^{- t} d t}}}=- \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\left(t \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot 1 d t}\right)}}=- \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\left(- t e^{- t} - \int{\left(- e^{- t}\right)d t}\right)}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ toe met $$$c=-1$$$ en $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$:

$$- 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = - 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$

Zij $$$u=- t$$$.

Dan $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dt = - du$$$.

Dus,

$$- 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=-1$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=- t$$$:

$$- 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

Dus,

$$\int{\left(t^{2} - 1\right) e^{- t} d t} = - 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 e^{- t}$$

Vereenvoudig:

$$\int{\left(t^{2} - 1\right) e^{- t} d t} = - \left(t + 1\right)^{2} e^{- t}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{\left(t^{2} - 1\right) e^{- t} d t} = - \left(t + 1\right)^{2} e^{- t}+C$$

$$$\int \left(t^{2} - 1\right) e^{- t}\, dt = - \left(t + 1\right)^{2} e^{- t} + C$$$A