Integraal van $$$e^{- a x^{2}}$$$ met betrekking tot $$$x$$$

Bepaal $$$\int e^{- a x^{2}}\, dx$$$.

Zij $$$u=\sqrt{a} x$$$.

Dan $$$du=\left(\sqrt{a} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{a} dx$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = \frac{du}{\sqrt{a}}$$$.

De integraal kan worden herschreven als

$${\color{red}{\int{e^{- a x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{- u^{2}}}{\sqrt{a}} d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=\frac{1}{\sqrt{a}}$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- u^{2}}}{\sqrt{a}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{- u^{2}} d u}}{\sqrt{a}}}}$$

Deze integraal (Foutfunctie) heeft geen gesloten vorm:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}}}{\sqrt{a}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\sqrt{a}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=\sqrt{a} x$$$:

$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{\sqrt{a} x}} \right)}}{2 \sqrt{a}}$$

Dus,

$$\int{e^{- a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{a} x \right)}}{2 \sqrt{a}}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{- a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{a} x \right)}}{2 \sqrt{a}}+C$$

$$$\int e^{- a x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{a} x \right)}}{2 \sqrt{a}} + C$$$A