Integraal van cos(2)*tanh(eta)

De calculator zal de integraal/primitieve functie van $$$\cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)}$$$ bepalen, waarbij de stappen worden weergegeven.

Gerelateerde rekenmachine: Rekenmachine voor bepaalde en oneigenlijke integralen

Uw invoer

Bepaal $$$\int \cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)}\, d\eta$$$.

De goniometrische functies verwachten het argument in radialen. Om het argument in graden in te voeren, vermenigvuldig het met pi/180, bijv. schrijf 45° als 45*pi/180, of gebruik de overeenkomstige functie door een 'd' toe te voegen, bijv. schrijf sin(45°) als sind(45).

Oplossing

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(\eta \right)}\, d\eta = c \int f{\left(\eta \right)}\, d\eta$$$ toe met $$$c=\cos{\left(2 \right)}$$$ en $$$f{\left(\eta \right)} = \tanh{\left(\eta \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)} d \eta}}} = {\color{red}{\cos{\left(2 \right)} \int{\tanh{\left(\eta \right)} d \eta}}}$$

Herschrijf de hyperbolische tangens als $$$\tanh\left(\eta\right)=\frac{\sinh\left(\eta\right)}{\cosh\left(\eta\right)}$$$:

$$\cos{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\tanh{\left(\eta \right)} d \eta}}} = \cos{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\frac{\sinh{\left(\eta \right)}}{\cosh{\left(\eta \right)}} d \eta}}}$$

Zij $$$u=\cosh{\left(\eta \right)}$$$.

Dan $$$du=\left(\cosh{\left(\eta \right)}\right)^{\prime }d\eta = \sinh{\left(\eta \right)} d\eta$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$\sinh{\left(\eta \right)} d\eta = du$$$.

De integraal wordt

$$\cos{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\frac{\sinh{\left(\eta \right)}}{\cosh{\left(\eta \right)}} d \eta}}} = \cos{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

De integraal van $$$\frac{1}{u}$$$ is $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\cos{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \cos{\left(2 \right)} {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=\cosh{\left(\eta \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} \cos{\left(2 \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\cosh{\left(\eta \right)}}}}\right| \right)} \cos{\left(2 \right)}$$

Dus,

$$\int{\cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)} d \eta} = \ln{\left(\cosh{\left(\eta \right)} \right)} \cos{\left(2 \right)}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{\cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)} d \eta} = \ln{\left(\cosh{\left(\eta \right)} \right)} \cos{\left(2 \right)}+C$$

Antwoord

$$$\int \cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)}\, d\eta = \ln\left(\cosh{\left(\eta \right)}\right) \cos{\left(2 \right)} + C$$$A

Integraal van $$$\cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)}$$$

Uw invoer

Oplossing

Antwoord