Integraal van $$$4 y e^{- y^{2}}$$$

Bepaal $$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy$$$.

Zij $$$u=- y^{2}$$$.

Dan $$$du=\left(- y^{2}\right)^{\prime }dy = - 2 y dy$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$y dy = - \frac{du}{2}$$$.

De integraal wordt

$${\color{red}{\int{4 y e^{- y^{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=-2$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=- y^{2}$$$:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\left(- y^{2}\right)}}}$$

Dus,

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}+C$$

$$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy = - 2 e^{- y^{2}} + C$$$A