Integraal van $$$2 x e^{- x}$$$

Bepaal $$$\int 2 x e^{- x}\, dx$$$.

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ toe met $$$c=2$$$ en $$$f{\left(x \right)} = x e^{- x}$$$:

$${\color{red}{\int{2 x e^{- x} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{x e^{- x} d x}\right)}}$$

Voor de integraal $$$\int{x e^{- x} d x}$$$, gebruik partiële integratie $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Zij $$$\operatorname{u}=x$$$ en $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$.

Dan $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (de stappen zijn te zien ») en $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$ (de stappen zijn te zien »).

Dus,

$$2 {\color{red}{\int{x e^{- x} d x}}}=2 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=2 {\color{red}{\left(- x e^{- x} - \int{\left(- e^{- x}\right)d x}\right)}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ toe met $$$c=-1$$$ en $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$:

$$- 2 x e^{- x} - 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{- x}\right)d x}}} = - 2 x e^{- x} - 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

Zij $$$u=- x$$$.

Dan $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = - du$$$.

Dus,

$$- 2 x e^{- x} + 2 {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = - 2 x e^{- x} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=-1$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- 2 x e^{- x} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - 2 x e^{- x} + 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 2 x e^{- x} - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 x e^{- x} - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=- x$$$:

$$- 2 x e^{- x} - 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 x e^{- x} - 2 e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Dus,

$$\int{2 x e^{- x} d x} = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$$

Vereenvoudig:

$$\int{2 x e^{- x} d x} = 2 \left(- x - 1\right) e^{- x}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{2 x e^{- x} d x} = 2 \left(- x - 1\right) e^{- x}+C$$

$$$\int 2 x e^{- x}\, dx = 2 \left(- x - 1\right) e^{- x} + C$$$A