Integraal van $$$23 e^{- x}$$$

Bepaal $$$\int 23 e^{- x}\, dx$$$.

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ toe met $$$c=23$$$ en $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$:

$${\color{red}{\int{23 e^{- x} d x}}} = {\color{red}{\left(23 \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

Zij $$$u=- x$$$.

Dan $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = - du$$$.

De integraal kan worden herschreven als

$$23 {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = 23 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=-1$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$23 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = 23 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 23 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 23 {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=- x$$$:

$$- 23 e^{{\color{red}{u}}} = - 23 e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Dus,

$$\int{23 e^{- x} d x} = - 23 e^{- x}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{23 e^{- x} d x} = - 23 e^{- x}+C$$

$$$\int 23 e^{- x}\, dx = - 23 e^{- x} + C$$$A