Integraal van $$$6 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$$$

Bepaal $$$\int 6 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$$.

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ toe met $$$c=6$$$ en $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{6 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(6 \int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

Voor de integraal $$$\int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}$$$, gebruik partiële integratie $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Zij $$$\operatorname{u}=\sin{\left(2 x \right)}$$$ en $$$\operatorname{dv}=e^{- \frac{x}{2}} dx$$$.

Dan $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx=2 \cos{\left(2 x \right)} dx$$$ (de stappen zijn te zien ») en $$$\operatorname{v}=\int{e^{- \frac{x}{2}} d x}=- 2 e^{- \frac{x}{2}}$$$ (de stappen zijn te zien »).

De integraal wordt

$$6 {\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}}}=6 {\color{red}{\left(\sin{\left(2 x \right)} \cdot \left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)-\int{\left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right) \cdot 2 \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}=6 {\color{red}{\left(- \int{\left(- 4 e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}\right)d x} - 2 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}\right)}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ toe met $$$c=-4$$$ en $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}$$$:

$$- 6 {\color{red}{\int{\left(- 4 e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}\right)d x}}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} = - 6 {\color{red}{\left(- 4 \int{e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$$

Voor de integraal $$$\int{e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)} d x}$$$, gebruik partiële integratie $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Zij $$$\operatorname{u}=\cos{\left(2 x \right)}$$$ en $$$\operatorname{dv}=e^{- \frac{x}{2}} dx$$$.

Dan $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx=- 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$$$ (de stappen zijn te zien ») en $$$\operatorname{v}=\int{e^{- \frac{x}{2}} d x}=- 2 e^{- \frac{x}{2}}$$$ (de stappen zijn te zien »).

Dus,

$$24 {\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)} d x}}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}=24 {\color{red}{\left(\cos{\left(2 x \right)} \cdot \left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)-\int{\left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right) \cdot \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) d x}\right)}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}=24 {\color{red}{\left(- \int{4 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x} - 2 e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}\right)}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ toe met $$$c=4$$$ en $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$$$:

$$- 24 {\color{red}{\int{4 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} - 48 e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)} = - 24 {\color{red}{\left(4 \int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}\right)}} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} - 48 e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}$$

We zijn uitgekomen bij een integraal die we al eerder hebben gezien.

Dus hebben we de volgende eenvoudige vergelijking voor de integraal verkregen:

$$6 \int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x} = - 96 \int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x} - 12 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} - 48 e^{- \frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}$$

Door het op te lossen, krijgen we dat

$$\int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x} = \frac{2 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{17}$$

Dus,

$$6 {\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x}}} = 6 {\color{red}{\left(\frac{2 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{17}\right)}}$$

Dus,

$$\int{6 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x} = \frac{12 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{17}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{6 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)} d x} = \frac{12 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{17}+C$$

$$$\int 6 e^{- \frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{12 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}}}{17} + C$$$A