Integraal van $$$- e^{- y}$$$

Bepaal $$$\int \left(- e^{- y}\right)\, dy$$$.

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ toe met $$$c=-1$$$ en $$$f{\left(y \right)} = e^{- y}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{- y}\right)d y}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{- y} d y}\right)}}$$

Zij $$$u=- y$$$.

Dan $$$du=\left(- y\right)^{\prime }dy = - dy$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dy = - du$$$.

Dus,

$$- {\color{red}{\int{e^{- y} d y}}} = - {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=-1$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=- y$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(- y\right)}}}$$

Dus,

$$\int{\left(- e^{- y}\right)d y} = e^{- y}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{\left(- e^{- y}\right)d y} = e^{- y}+C$$

$$$\int \left(- e^{- y}\right)\, dy = e^{- y} + C$$$A