Integraal van $$$e^{\frac{x}{c}}$$$ met betrekking tot $$$x$$$

Bepaal $$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx$$$.

Zij $$$u=\frac{x}{c}$$$.

Dan $$$du=\left(\frac{x}{c}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{c}$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = c du$$$.

De integraal kan worden herschreven als

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{c}} d x}}} = {\color{red}{\int{c e^{u} d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=c$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{c e^{u} d u}}} = {\color{red}{c \int{e^{u} d u}}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$c {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = c {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=\frac{x}{c}$$$:

$$c e^{{\color{red}{u}}} = c e^{{\color{red}{\frac{x}{c}}}}$$

Dus,

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx = c e^{\frac{x}{c}} + C$$$A