Integraal van $$$\left(u + v\right)^{c - 1}$$$ met betrekking tot $$$u$$$

Bepaal $$$\int \left(u + v\right)^{c - 1}\, du$$$.

Zij $$$w=u + v$$$.

Dan $$$dw=\left(u + v\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$du = dw$$$.

De integraal kan worden herschreven als

$${\color{red}{\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u}}} = {\color{red}{\int{w^{c - 1} d w}}}$$

Pas de machtsregel $$$\int w^{n}\, dw = \frac{w^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ toe met $$$n=c - 1$$$:

$${\color{red}{\int{w^{c - 1} d w}}}={\color{red}{\frac{w^{\left(c - 1\right) + 1}}{\left(c - 1\right) + 1}}}={\color{red}{\frac{w^{c}}{c}}}$$

We herinneren eraan dat $$$w=u + v$$$:

$$\frac{{\color{red}{w}}^{c}}{c} = \frac{{\color{red}{\left(u + v\right)}}^{c}}{c}$$

Dus,

$$\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u} = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u} = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c}+C$$

$$$\int \left(u + v\right)^{c - 1}\, du = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c} + C$$$A