Integraal van $$$e^{4 x} + 5 e^{- x}$$$

Bepaal $$$\int \left(e^{4 x} + 5 e^{- x}\right)\, dx$$$.

Integreer termgewijs:

$${\color{red}{\int{\left(e^{4 x} + 5 e^{- x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{5 e^{- x} d x} + \int{e^{4 x} d x}\right)}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ toe met $$$c=5$$$ en $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$:

$$\int{e^{4 x} d x} + {\color{red}{\int{5 e^{- x} d x}}} = \int{e^{4 x} d x} + {\color{red}{\left(5 \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

Zij $$$u=- x$$$.

Dan $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = - du$$$.

Dus,

$$\int{e^{4 x} d x} + 5 {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = \int{e^{4 x} d x} + 5 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=-1$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$\int{e^{4 x} d x} + 5 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = \int{e^{4 x} d x} + 5 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\int{e^{4 x} d x} - 5 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = \int{e^{4 x} d x} - 5 {\color{red}{e^{u}}}$$

We herinneren eraan dat $$$u=- x$$$:

$$\int{e^{4 x} d x} - 5 e^{{\color{red}{u}}} = \int{e^{4 x} d x} - 5 e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Zij $$$u=4 x$$$.

Dan $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = \frac{du}{4}$$$.

Dus,

$${\color{red}{\int{e^{4 x} d x}}} - 5 e^{- x} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}} - 5 e^{- x}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=\frac{1}{4}$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}} - 5 e^{- x} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}} - 5 e^{- x}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} - 5 e^{- x} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4} - 5 e^{- x}$$

We herinneren eraan dat $$$u=4 x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} - 5 e^{- x} = \frac{e^{{\color{red}{\left(4 x\right)}}}}{4} - 5 e^{- x}$$

Dus,

$$\int{\left(e^{4 x} + 5 e^{- x}\right)d x} = \frac{e^{4 x}}{4} - 5 e^{- x}$$

Vereenvoudig:

$$\int{\left(e^{4 x} + 5 e^{- x}\right)d x} = \frac{\left(e^{5 x} - 20\right) e^{- x}}{4}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{\left(e^{4 x} + 5 e^{- x}\right)d x} = \frac{\left(e^{5 x} - 20\right) e^{- x}}{4}+C$$

$$$\int \left(e^{4 x} + 5 e^{- x}\right)\, dx = \frac{\left(e^{5 x} - 20\right) e^{- x}}{4} + C$$$A