Integraal van $$$e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}$$$

Bepaal $$$\int e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}\, dw$$$.

Voor de integraal $$$\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w}$$$, gebruik partiële integratie $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Zij $$$\operatorname{u}=\sin{\left(2 w \right)}$$$ en $$$\operatorname{dv}=e^{- 6 w} dw$$$.

Dan $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(2 w \right)}\right)^{\prime }dw=2 \cos{\left(2 w \right)} dw$$$ (de stappen zijn te zien ») en $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 6 w} d w}=- \frac{e^{- 6 w}}{6}$$$ (de stappen zijn te zien »).

Dus,

$${\color{red}{\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w}}}={\color{red}{\left(\sin{\left(2 w \right)} \cdot \left(- \frac{e^{- 6 w}}{6}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 6 w}}{6}\right) \cdot 2 \cos{\left(2 w \right)} d w}\right)}}={\color{red}{\left(- \int{\left(- \frac{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}}{3}\right)d w} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6}\right)}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ toe met $$$c=- \frac{1}{3}$$$ en $$$f{\left(w \right)} = e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}}{3}\right)d w}}} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6} = - {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)} d w}}{3}\right)}} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6}$$

Voor de integraal $$$\int{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)} d w}$$$, gebruik partiële integratie $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Zij $$$\operatorname{u}=\cos{\left(2 w \right)}$$$ en $$$\operatorname{dv}=e^{- 6 w} dw$$$.

Dan $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(2 w \right)}\right)^{\prime }dw=- 2 \sin{\left(2 w \right)} dw$$$ (de stappen zijn te zien ») en $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 6 w} d w}=- \frac{e^{- 6 w}}{6}$$$ (de stappen zijn te zien »).

De integraal kan worden herschreven als

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)} d w}}}}{3} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6}=\frac{{\color{red}{\left(\cos{\left(2 w \right)} \cdot \left(- \frac{e^{- 6 w}}{6}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 6 w}}{6}\right) \cdot \left(- 2 \sin{\left(2 w \right)}\right) d w}\right)}}}{3} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6}=\frac{{\color{red}{\left(- \int{\frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{3} d w} - \frac{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}}{6}\right)}}}{3} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ toe met $$$c=\frac{1}{3}$$$ en $$$f{\left(w \right)} = e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{3} d w}}}}{3} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6} - \frac{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}}{18} = - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w}}{3}\right)}}}{3} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6} - \frac{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}}{18}$$

We zijn uitgekomen bij een integraal die we al eerder hebben gezien.

Dus hebben we de volgende eenvoudige vergelijking voor de integraal verkregen:

$$\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w} = - \frac{\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w}}{9} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6} - \frac{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}}{18}$$

Door het op te lossen, krijgen we dat

$$\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w} = \frac{\left(- 3 \sin{\left(2 w \right)} - \cos{\left(2 w \right)}\right) e^{- 6 w}}{20}$$

Dus,

$$\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w} = \frac{\left(- 3 \sin{\left(2 w \right)} - \cos{\left(2 w \right)}\right) e^{- 6 w}}{20}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w} = \frac{\left(- 3 \sin{\left(2 w \right)} - \cos{\left(2 w \right)}\right) e^{- 6 w}}{20}+C$$

$$$\int e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}\, dw = \frac{\left(- 3 \sin{\left(2 w \right)} - \cos{\left(2 w \right)}\right) e^{- 6 w}}{20} + C$$$A