|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eigenschappen van de hyperbool $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$
Gerelateerde rekenmachines: Paraboolrekenmachine, Cirkelrekenmachine, Ellips-rekenmachine, Rekenmachine voor kegelsneden
Uw invoer
Bepaal het middelpunt, de brandpunten, de toppen, de neventoppen, de lengte van de hoofdas, de lengte van de halve hoofdas, de lengte van de nevenas, de lengte van de halve nevenas, de latera recta, de lengte van de latera recta (brandpuntsbreedte), de focale parameter, de excentriciteit, de lineaire excentriciteit (brandpuntsafstand), de richtlijnen, de asymptoten, de snijpunten met de x-as, de snijpunten met de y-as, het domein en het bereik van de hyperbool $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$.
Oplossing
De vergelijking van een hyperbool is $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$, waarbij $$$\left(h, k\right)$$$ het middelpunt is en $$$a$$$ en $$$b$$$ de halflengten van respectievelijk de transversale as en de conjugaatas.
Onze hyperbool in deze vorm is $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$.
Dus, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$.
De standaardvorm is $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$.
De topvorm is $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$.
De algemene vorm is $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$.
De lineaire excentriciteit (focale afstand) is $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = \sqrt{13}$$$.
De excentriciteit is $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{13}}{2}$$$.
Het eerste brandpunt is $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, - \sqrt{13}\right)$$$.
Het tweede brandpunt is $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, \sqrt{13}\right)$$$.
Het eerste hoekpunt is $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$.
Het tweede hoekpunt is $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$.
De eerste neventop is $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.
De tweede neventop is $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.
De lengte van de grote as is $$$2 b = 4$$$.
De lengte van de kleine as is $$$2 a = 6$$$.
De brandpuntsparameter is de afstand tussen het brandpunt en de richtlijn: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{13}}{13}$$$.
De latera recta zijn de lijnen die evenwijdig zijn aan de kleine as en door de brandpunten gaan.
Het eerste latus rectum is $$$y = - \sqrt{13}$$$.
Het tweede latus rectum is $$$y = \sqrt{13}$$$.
De eindpunten van het eerste latus rectum kunnen worden gevonden door het stelsel $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = - \sqrt{13} \end{cases}$$$ op te lossen (voor de stappen, zie rekenmachine voor stelsels van vergelijkingen).
De eindpunten van het eerste latus rectum zijn $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$.
De eindpunten van het tweede latus rectum kunnen worden gevonden door het stelsel $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = \sqrt{13} \end{cases}$$$ op te lossen (voor de stappen, zie calculator voor stelsels van vergelijkingen).
De eindpunten van de tweede latus rectum zijn $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$.
De lengte van de latera recta (brandpuntsbreedte) is $$$\frac{2 a^{2}}{b} = 9$$$.
De eerste richtlijn is $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.
De tweede richtlijn is $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.
De eerste asymptoot is $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{2 x}{3}$$$.
De tweede asymptoot is $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{2 x}{3}$$$.
De snijpunten met de x-as kunnen worden gevonden door $$$y = 0$$$ in de vergelijking te stellen en op te lossen naar $$$x$$$ (voor de stappen, zie snijpunten-calculator).
Aangezien er geen reële oplossingen zijn, zijn er geen snijpunten met de x-as.
De y-afsneden kunnen worden gevonden door $$$x = 0$$$ in de vergelijking in te vullen en op te lossen naar $$$y$$$: (voor de stappen, zie intercepts calculator).
snijpunten met de y-as: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$
Antwoord
Standaardvorm/vergelijking: $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.
Topvorm/vergelijking: $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A.
Algemene vorm/vergelijking: $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$A.
Eerste brandpunt-richtlijnvorm/vergelijking: $$$x^{2} + \left(y + \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y + \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.
Tweede brandpunt-richtlijnvorm/vergelijking: $$$x^{2} + \left(y - \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.
Grafiek: zie de graphing calculator.
Middelpunt: $$$\left(0, 0\right)$$$A.
Eerste brandpunt: $$$\left(0, - \sqrt{13}\right)\approx \left(0, -3.605551275463989\right)$$$A.
Tweede brandpunt: $$$\left(0, \sqrt{13}\right)\approx \left(0, 3.605551275463989\right)$$$A.
Eerste hoekpunt: $$$\left(0, -2\right)$$$A.
Tweede top: $$$\left(0, 2\right)$$$A.
Eerste neventop: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.
Tweede neventop: $$$\left(3, 0\right)$$$A.
Lengte van de grote (transversale) as: $$$4$$$A.
Lengte van de halfgrote as: $$$2$$$A.
Lengte van de kleine (conjugaat) as: $$$6$$$A.
Lengte van de kleine halfas: $$$3$$$A.
Eerste latus rectum: $$$y = - \sqrt{13}\approx -3.605551275463989$$$A.
Tweede latus rectum: $$$y = \sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.
Eindpunten van het eerste latus rectum: $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, -3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, -3.605551275463989\right)$$$A.
Uiteinden van de tweede latus rectum: $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, 3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, 3.605551275463989\right)$$$A.
Lengte van de latera recta (focale breedte): $$$9$$$A.
Brandpuntsparameter: $$$\frac{9 \sqrt{13}}{13}\approx 2.496150883013531$$$A.
Excentriciteit: $$$\frac{\sqrt{13}}{2}\approx 1.802775637731995$$$A.
Lineaire excentriciteit (brandpuntsafstand): $$$\sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.
Eerste richtlijn: $$$y = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx -1.109400392450458$$$A.
Tweede richtlijn: $$$y = \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx 1.109400392450458$$$A.
Eerste asymptoot: $$$y = - \frac{2 x}{3}\approx - 0.666666666666667 x$$$A.
Tweede asymptoot: $$$y = \frac{2 x}{3}\approx 0.666666666666667 x$$$A.
Snijpunten met de x-as: geen snijpunten met de x-as.
snijpunten met de y-as: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A.
Domein: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.
Bereik: $$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$$A.