Eigenschappen van de ellips $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$

Bepaal het middelpunt, de brandpunten, de toppen, de neventoppen, de lengte van de grote as, de lengte van de halfgrote as, de lengte van de kleine as, de lengte van de halfkleine as, de oppervlakte, de omtrek, de latera recta, de lengte van de latera recta (brandpuntsbreedte), de brandpuntsparameter, de excentriciteit, de lineaire excentriciteit (brandpuntsafstand), de richtlijnen, de snijpunten met de x-as, de snijpunten met de y-as, het domein en het bereik van de ellips $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$.

De vergelijking van een ellips is $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, waarbij $$$\left(h, k\right)$$$ het middelpunt is en $$$b$$$ en $$$a$$$ de lengtes zijn van de grote halve as en de kleine halve as.

Onze ellips in deze vorm is $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{4} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{5} = 1$$$.

Dus, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 2$$$, $$$b = \sqrt{5}$$$.

De standaardvorm is $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$.

De topvorm is $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$.

De algemene vorm is $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$.

De lineaire excentriciteit (focale afstand) is $$$c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} = 1$$$.

De excentriciteit is $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$$.

Het eerste brandpunt is $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -1\right)$$$.

Het tweede brandpunt is $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 1\right)$$$.

Het eerste hoekpunt is $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{5}\right)$$$.

Het tweede hoekpunt is $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{5}\right)$$$.

De eerste neventop is $$$\left(h - a, k\right) = \left(-2, 0\right)$$$.

De tweede neventop is $$$\left(h + a, k\right) = \left(2, 0\right)$$$.

De lengte van de grote as is $$$2 b = 2 \sqrt{5}$$$.

De lengte van de kleine as is $$$2 a = 4$$$.

De oppervlakte is $$$\pi a b = 2 \sqrt{5} \pi$$$.

De omtrek is $$$4 b E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)$$$.

De brandpuntsparameter is de afstand tussen het brandpunt en de richtlijn: $$$\frac{a^{2}}{c} = 4$$$.

De latera recta zijn de lijnen die evenwijdig zijn aan de kleine as en door de brandpunten gaan.

Het eerste latus rectum is $$$y = -1$$$.

Het tweede latus rectum is $$$y = 1$$$.

De eindpunten van het eerste latus rectum kunnen worden gevonden door het stelsel $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = -1 \end{cases}$$$ op te lossen (voor de stappen, zie rekenmachine voor stelsels van vergelijkingen).

De eindpunten van het eerste latus rectum zijn $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$.

De eindpunten van het tweede latus rectum kunnen worden gevonden door het stelsel $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = 1 \end{cases}$$$ op te lossen (voor de stappen, zie calculator voor stelsels van vergelijkingen).

De eindpunten van de tweede latus rectum zijn $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$.

De lengte van de latera recta (brandpuntsbreedte) is $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$$$.

De eerste richtlijn is $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = -5$$$.

De tweede richtlijn is $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = 5$$$.

De snijpunten met de x-as kunnen worden gevonden door $$$y = 0$$$ in de vergelijking te stellen en op te lossen naar $$$x$$$ (voor de stappen, zie snijpunten-calculator).

snijpunten met de x-as: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$

De y-afsneden kunnen worden gevonden door $$$x = 0$$$ in de vergelijking in te vullen en op te lossen naar $$$y$$$: (voor de stappen, zie intercepts calculator).

snijpunten met de y-as: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)$$$

Het domein is $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-2, 2\right]$$$.

Het bereik is $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$$$.

Standaardvorm/vergelijking: $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$A.

Topvorm/vergelijking: $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$A.

Algemene vorm/vergelijking: $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$A.

Eerste brandpunt-richtlijnvorm/vergelijking: $$$x^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = \frac{\left(y + 5\right)^{2}}{5}$$$A.

Tweede brandpunt-richtlijnvorm/vergelijking: $$$x^{2} + \left(y - 1\right)^{2} = \frac{\left(y - 5\right)^{2}}{5}$$$A.

Grafiek: zie de graphing calculator.

Middelpunt: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Eerste brandpunt: $$$\left(0, -1\right)$$$A.

Tweede brandpunt: $$$\left(0, 1\right)$$$A.

Eerste hoekpunt: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$A.

Tweede top: $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.

Eerste neventop: $$$\left(-2, 0\right)$$$A.

Tweede neventop: $$$\left(2, 0\right)$$$A.

Lengte van de grote as: $$$2 \sqrt{5}\approx 4.472135954999579$$$A.

Lengte van de halfgrote as: $$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

Lengte van de kleine as: $$$4$$$A.

Lengte van de kleine halfas: $$$2$$$A.

Oppervlakte: $$$2 \sqrt{5} \pi\approx 14.049629462081453$$$A.

Omtrek: $$$4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)\approx 13.318334443130703$$$A.

Eerste latus rectum: $$$y = -1$$$A.

Tweede latus rectum: $$$y = 1$$$A.

Eindpunten van het eerste latus rectum: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(-1.788854381999832, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(1.788854381999832, -1\right)$$$A.

Uiteinden van de tweede latus rectum: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(-1.788854381999832, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(1.788854381999832, 1\right)$$$A.

Lengte van de latera recta (focale breedte): $$$\frac{8 \sqrt{5}}{5}\approx 3.577708763999664$$$A.

Brandpuntsparameter: $$$4$$$A.

Excentriciteit: $$$\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0.447213595499958$$$A.

Lineaire excentriciteit (brandpuntsafstand): $$$1$$$A.

Eerste richtlijn: $$$y = -5$$$A.

Tweede richtlijn: $$$y = 5$$$A.

Snijpunten met de x-as: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$A.

snijpunten met de y-as: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.

Domein: $$$\left[-2, 2\right]$$$A.

Bereik: $$$\left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]\approx \left[-2.23606797749979, 2.23606797749979\right]$$$A.