$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$의 특이값 분해

$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$의 SVD를 구하시오.

다음 행렬의 전치행렬을 구하십시오: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]$$$ (단계별 과정은 행렬 전치 계산기를 참조하세요.)

행렬을 그 전치와 곱하십시오: $$$W = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (풀이 단계는 행렬 곱셈 계산기를 참조하세요).

이제 $$$W$$$의 고유값과 고유벡터를 구하세요(단계는 고유값 및 고유벡터 계산기를 참조하세요).

고유값: $$$1$$$, 고유벡터: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$.

고유값: $$$0$$$, 고유벡터: $$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$.

영이 아닌 고유값($$$\sigma_{i}$$$)의 제곱근을 구하시오:

$$$\sigma_{1} = 1$$$

$$$\Sigma$$$ 행렬은 대각선 성분이 $$$\sigma_{i}$$$이고 나머지 원소가 모두 0인 행렬이다: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

행렬 $$$U$$$의 열은 정규화된(단위) 벡터들입니다: $$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$ (단위 벡터를 구하는 단계는 단위 벡터 계산기를 참조하세요).

이제, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{1}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$ (자세한 단계는 행렬의 스칼라배 계산기 및 행렬 곱셈 계산기를 참조하세요).

이제 0이 아닌 $$$\sigma_{i}$$$가 더 이상 없고 벡터가 하나 더 필요하므로, 찾은 벡터들을 행으로 하는 행렬의 영공간을 구해 이들 모두에 직교하는 벡터를 찾습니다: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$ (절차는 영공간 계산기를 참고하세요).

벡터를 정규화하면 $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$가 됩니다(단계는 단위 벡터 계산기를 참조하세요).

따라서 $$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$.

행렬 $$$U$$$, $$$\Sigma$$$, 및 $$$V$$$는 원래의 행렬이 $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$를 만족하도록 되어 있다.

$$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.707106781186548 & -0.707106781186548\\0.707106781186548 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A