행렬 대각화 계산기

$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$을(를) 대각화하시오.

먼저 고유값과 고유벡터를 구합니다(자세한 단계는 고유값 및 고유벡터 계산기를 참조하세요).

고유값: $$$6$$$, 고유벡터: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$.

고유값: $$$3$$$, 고유벡터: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$.

고유값: $$$-2$$$, 고유벡터: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$.

행렬 $$$P$$$를 구성하되, $$$i$$$번째 열이 $$$i$$$번째 고유벡터가 되도록 하라: $$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

$$$i$$$행 $$$i$$$열의 원소가 $$$i$$$번째 고유값인 대각행렬 $$$D$$$를 구성하십시오: $$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$

행렬 $$$P$$$와 $$$D$$$는 처음 주어진 행렬 등식 $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$를 만족한다.

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (단계별 풀이에 대해서는 역행렬 계산기를 참조하세요.)

$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$A