$$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$의 역함수

가우스-조르당 소거법을 사용하여 $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]^{-1}$$$을(를) 구하세요.

역행렬을 구하려면, 주어진 행렬에 단위행렬을 덧붙여 확대행렬을 만든 뒤 왼쪽이 단위행렬이 되도록 행 연산을 수행한다. 그러면 오른쪽에 있는 행렬이 역행렬이 된다.

따라서 행렬에 단위행렬을 덧붙여 확장한다:

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\2 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

행 $$$2$$$에서 행 $$$1$$$의 $$$2$$$배를 빼십시오: $$$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & -3 & 2 & -2 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

행 $$$3$$$에서 행 $$$1$$$를 뺍니다: $$$R_{3} = R_{3} - R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & -3 & 2 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

$$$2$$$번째 행을 $$$-3$$$(으)로 나눈다: $$$R_{2} = - \frac{R_{2}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

행 $$$1$$$에서 행 $$$2$$$를 뺍니다: $$$R_{1} = R_{1} - R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\0 & 1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

$$$3$$$번째 행을 $$$2$$$(으)로 나눈다: $$$R_{3} = \frac{R_{3}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\0 & 1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

$$$3$$$행에 $$$\frac{1}{3}$$$를 곱한 것을 $$$1$$$행에 더한다: $$$R_{1} = R_{1} + \frac{R_{3}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\0 & 1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

$$$3$$$행에 $$$\frac{2}{3}$$$를 곱한 것을 $$$2$$$행에 더한다: $$$R_{2} = R_{2} + \frac{2 R_{3}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

완료되었습니다. 왼쪽은 단위행렬입니다. 오른쪽은 역행렬입니다.

역행렬은 $$$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$A입니다.