라그랑주 승수법: 제약식 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ 하에서 $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$의 최댓값과 최솟값 구하기

$$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$의 제약 조건 하에서 $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

주의! 이 계산기는 라그랑주 승수법을 적용하기 위한 조건을 확인하지 않습니다. 사용은 본인의 책임 하에 하십시오: 결과가 잘못될 수 있습니다.

$$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ 제약 조건을 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$ 형태로 다시 쓰십시오.

라그랑지안을 구성하십시오: $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$.

모든 1차 편도함수를 구하시오:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

다음으로, 연립식 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ 또는 $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}$$$를 푸세요.

해당 연립방정식은 다음과 같은 실수해를 가집니다: $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$.

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

우리가 단 하나의 값만 찾았으므로, 그것이 최댓값인지 최솟값인지 아직 확인해야 합니다. 이를 위해 제약 조건을 만족하는 다른 점을 하나 택해 그 점에서의 함수값을 구하세요. 이 새로운 점에서의 값이 원래 점에서의 값보다 작다면 원래 점이 최대점입니다. 반대로 새로운 점에서의 값이 더 크다면 원래 점이 최소점입니다.

최댓값과 최솟값을 찾을 수 없습니다.