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라그랑주 승수법: 제약식 $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ 하에서 $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$의 최댓값과 최솟값 구하기

이 계산기는 라그랑주 승수법을 사용하여 제약식 $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ 하에서 다변수 함수 $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$의 최댓값과 최솟값을 풀이 과정을 단계별로 제시하면서 구하려고 합니다.

관련 계산기: 임계점, 극값 및 안장점 계산기

선택 사항.

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사용자 입력

$$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$의 제약 조건 하에서 $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

풀이

주의! 이 계산기는 라그랑주 승수법을 적용하기 위한 조건을 확인하지 않습니다. 사용은 본인의 책임 하에 하십시오: 결과가 잘못될 수 있습니다.

$$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ 제약 조건을 $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$ 형태로 다시 쓰십시오.

라그랑지안을 구성하십시오: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$.

모든 1차 편도함수를 구하시오:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

다음으로, 연립식 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ 또는 $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}$$$를 푸세요.

해당 연립방정식은 다음과 같은 실수해를 가집니다: $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$.

$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

따라서 최소값은 $$$9$$$, 최대값은 $$$\frac{729}{4}$$$입니다.

정답

최댓값

$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A에서의 $$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A.

최솟값

$$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A에서의 $$$9$$$A.


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