라그랑주 승수법: 제약식 $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ 하에서 $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$의 최댓값과 최솟값 구하기

$$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$의 제약 조건 하에서 $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

주의! 이 계산기는 라그랑주 승수법을 적용하기 위한 조건을 확인하지 않습니다. 사용은 본인의 책임 하에 하십시오: 결과가 잘못될 수 있습니다.

$$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ 제약 조건을 $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$ 형태로 다시 쓰십시오.

라그랑지안을 구성하십시오: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$.

모든 1차 편도함수를 구하시오:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

다음으로, 연립식 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ 또는 $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}$$$를 푸세요.

연립방정식은 다음과 같은 실수 해를 가집니다: $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$.

$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$

점 $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$을 취하라.

$$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$가 $$$64$$$보다 크므로 $$$64$$$가 최솟값이라고 할 수 있습니다.

최댓값

최댓값 없음.

최솟값

$$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A에서의 $$$64$$$A.