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$$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle$$$의 곡률
관련 계산기: 단위 종법선 벡터 계산기, 비틀림 계산기
사용자 입력
$$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle$$$의 곡률을 구하시오.
풀이
$$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)}$$$의 도함수를 구하세요: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)} = \left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle$$$ (단계별 풀이를 보려면 derivative calculator를 참조하세요).
$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}$$$의 크기를 구하시오: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 x^{2} + 1}$$$ (단계는 크기 계산기를 참조하세요.)
$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}$$$의 도함수를 구하세요: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 2, 0\right\rangle$$$ (단계별 풀이를 보려면 derivative calculator를 참조하세요).
외적을 구하시오: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$ (풀이 단계는 외적 계산기를 참조하세요.)
$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}$$$의 크기를 구하시오: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = 2$$$ (단계는 크기 계산기를 참조하세요.)
마지막으로, 곡률은 $$$\kappa\left(x\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$$입니다.
정답
곡률은 $$$\kappa\left(x\right) = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$$A입니다.