$$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$의 임계점, 극값점 및 안장점

$$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$의 임계점을 찾아 분류하시오.

첫 번째 단계는 모든 1계 편도함수를 구하는 것입니다:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

다음으로, 연립식 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ 또는 $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$를 푸세요.

연립방정식은 다음과 같은 실수 해를 가집니다: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$.

이제 이를 분류해 봅시다.

모든 이계 편도함수를 구하시오:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (풀이 단계는 부분 도함수 계산기를 참조하세요.)

식 $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}$$$을 정의하세요.

$$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$가 $$$0$$$보다 작으므로, $$$\left(0, 0\right)$$$는 안장점이다.

국소 최댓값

상대 최댓값이 없습니다.

극솟값

국소 최솟값이 없습니다.

안장점

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A