$$$x^{3} \ln^{2}\left(x\right)$$$의 적분

$$$\int x^{3} \ln^{2}\left(x\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{2}$$$와 $$$\operatorname{dv}=x^{3} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{2}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{x^{3} d x}=\frac{x^{4}}{4}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{2} \cdot \frac{x^{4}}{4}-\int{\frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \int{\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}}{2} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{3} \ln{\left(x \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - {\color{red}{\int{\frac{x^{3} \ln{\left(x \right)}}{2} d x}}} = \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{3} \ln{\left(x \right)} d x}}{2}\right)}}$$

적분 $$$\int{x^{3} \ln{\left(x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=x^{3} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{x^{3} d x}=\frac{x^{4}}{4}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{x^{3} \ln{\left(x \right)} d x}}}}{2}=\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot \frac{x^{4}}{4}-\int{\frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}}{2}=\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{4} - \int{\frac{x^{3}}{4} d x}\right)}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$에 적용하세요:

$$\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{x^{3}}{4} d x}}}}{2} = \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{x^{3} d x}}{4}\right)}}}{2}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=3$$$에 적용합니다:

$$\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{x^{3} d x}}}}{8}=\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{8} + \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}}{8}=\frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}}{8}$$

따라서,

$$\int{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \ln{\left(x \right)}}{8} + \frac{x^{4}}{32}$$

간단히 하시오:

$$\int{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = \frac{x^{4} \left(8 \ln{\left(x \right)}^{2} - 4 \ln{\left(x \right)} + 1\right)}{32}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x^{3} \ln{\left(x \right)}^{2} d x} = \frac{x^{4} \left(8 \ln{\left(x \right)}^{2} - 4 \ln{\left(x \right)} + 1\right)}{32}+C$$

$$$\int x^{3} \ln^{2}\left(x\right)\, dx = \frac{x^{4} \left(8 \ln^{2}\left(x\right) - 4 \ln\left(x\right) + 1\right)}{32} + C$$$A