$$$\frac{x}{\sqrt{x} - 1}$$$의 적분

$$$\int \frac{x}{\sqrt{x} - 1}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\sqrt{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{x}{\sqrt{x} - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 u^{3}}{u - 1} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{u^{3}}{u - 1}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{2 u^{3}}{u - 1} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{u^{3}}{u - 1} d u}\right)}}$$

분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같으므로 다항식의 긴 나눗셈을 수행하십시오(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$$2 {\color{red}{\int{\frac{u^{3}}{u - 1} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(u^{2} + u + 1 + \frac{1}{u - 1}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$2 {\color{red}{\int{\left(u^{2} + u + 1 + \frac{1}{u - 1}\right)d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{u d u} + \int{u^{2} d u} + \int{\frac{1}{u - 1} d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$2 \int{u d u} + 2 \int{u^{2} d u} + 2 \int{\frac{1}{u - 1} d u} + 2 {\color{red}{\int{1 d u}}} = 2 \int{u d u} + 2 \int{u^{2} d u} + 2 \int{\frac{1}{u - 1} d u} + 2 {\color{red}{u}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$2 u + 2 \int{u^{2} d u} + 2 \int{\frac{1}{u - 1} d u} + 2 {\color{red}{\int{u d u}}}=2 u + 2 \int{u^{2} d u} + 2 \int{\frac{1}{u - 1} d u} + 2 {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}=2 u + 2 \int{u^{2} d u} + 2 \int{\frac{1}{u - 1} d u} + 2 {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=2$$$에 적용합니다:

$$u^{2} + 2 u + 2 \int{\frac{1}{u - 1} d u} + 2 {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=u^{2} + 2 u + 2 \int{\frac{1}{u - 1} d u} + 2 {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=u^{2} + 2 u + 2 \int{\frac{1}{u - 1} d u} + 2 {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

$$$v=u - 1$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(u - 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = dv$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{2 u^{3}}{3} + u^{2} + 2 u + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u - 1} d u}}} = \frac{2 u^{3}}{3} + u^{2} + 2 u + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{2 u^{3}}{3} + u^{2} + 2 u + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = \frac{2 u^{3}}{3} + u^{2} + 2 u + 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

다음 $$$v=u - 1$$$을 기억하라:

$$\frac{2 u^{3}}{3} + u^{2} + 2 u + 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = \frac{2 u^{3}}{3} + u^{2} + 2 u + 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u - 1\right)}}}\right| \right)}$$

다음 $$$u=\sqrt{x}$$$을 기억하라:

$$2 \ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)} + 2 {\color{red}{u}} + {\color{red}{u}}^{2} + \frac{2 {\color{red}{u}}^{3}}{3} = 2 \ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{\sqrt{x}}}}\right| \right)} + 2 {\color{red}{\sqrt{x}}} + {\color{red}{\sqrt{x}}}^{2} + \frac{2 {\color{red}{\sqrt{x}}}^{3}}{3}$$

따라서,

$$\int{\frac{x}{\sqrt{x} - 1} d x} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x} + x + 2 \ln{\left(\left|{\sqrt{x} - 1}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{x}{\sqrt{x} - 1} d x} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x} + x + 2 \ln{\left(\left|{\sqrt{x} - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{x}{\sqrt{x} - 1}\, dx = \left(\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x} + x + 2 \ln\left(\left|{\sqrt{x} - 1}\right|\right)\right) + C$$$A