$$$\sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}}$$$의 적분

$$$\int \sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

입력이 다음과 같이 다시 쓰입니다: $$$\int{\sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}} d x}=\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} d x}$$$.

분자와 분모에 $$$\sqrt{x + 1}$$$를 곱하고 간단히 하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x + 1} d x}}}$$

$$$x=\sin{\left(u \right)}$$$라 하자.

따라서 $$$dx=\left(\sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \cos{\left(u \right)} du$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$u=\operatorname{asin}{\left(x \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x + 1} = \frac{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}{\sin{\left( u \right)} + 1}$$$

$$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}{\sin{\left( u \right)} + 1}=\frac{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}{\sin{\left( u \right)} + 1}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}{\sin{\left( u \right)} + 1} = \frac{\cos{\left( u \right)}}{\sin{\left( u \right)} + 1}$$$

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)} + 1} d u}}}$$

코사인을 사인으로 나타내고, 분자를 더 정리한 다음, 제곱의 차 공식을 사용하여 식을 단순화하세요.:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)} + 1} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - \sin{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(1 - \sin{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{\sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$- \int{\sin{\left(u \right)} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - \int{\sin{\left(u \right)} d u} + {\color{red}{u}}$$

사인 함수의 적분은 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$u - {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = u - {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

다음 $$$u=\operatorname{asin}{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\cos{\left({\color{red}{u}} \right)} + {\color{red}{u}} = \cos{\left({\color{red}{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}} \right)} + {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} d x} = \sqrt{1 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} d x} = \sqrt{1 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}}\, dx = \left(\sqrt{1 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right) + C$$$A