$$$\sin{\left(4 x \right)} \sin{\left(8 x \right)}$$$의 적분

$$$\int \sin{\left(4 x \right)} \sin{\left(8 x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

공식 $$$\sin\left(\alpha \right)\sin\left(\beta \right)=\frac{1}{2} \cos\left(\alpha-\beta \right)-\frac{1}{2} \cos\left(\alpha+\beta \right)$$$을 $$$\alpha=4 x$$$ 및 $$$\beta=8 x$$$와 함께 사용하여 피적분함수를 다시 쓰십시오.:

$${\color{red}{\int{\sin{\left(4 x \right)} \sin{\left(8 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\right)d x}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)} - \cos{\left(12 x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(4 x \right)} - \cos{\left(12 x \right)}\right)d x}}{2}\right)}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(4 x \right)} - \cos{\left(12 x \right)}\right)d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{\cos{\left(4 x \right)} d x} - \int{\cos{\left(12 x \right)} d x}\right)}}}{2}$$

$$$u=12 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(12 x\right)^{\prime }dx = 12 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{12}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(12 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{12} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{12}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{12} d u}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{12}\right)}}}{2}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{24} = \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{24}$$

다음 $$$u=12 x$$$을 기억하라:

$$\frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} - \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{24} = \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(12 x\right)}} \right)}}{24}$$

$$$u=4 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{4}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}}}{2} = - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{2} = - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}}{2}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$- \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{8} = - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{8}$$

다음 $$$u=4 x$$$을 기억하라:

$$- \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{8} = - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)}}{8}$$

따라서,

$$\int{\sin{\left(4 x \right)} \sin{\left(8 x \right)} d x} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\sin{\left(4 x \right)} \sin{\left(8 x \right)} d x} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}+C$$

$$$\int \sin{\left(4 x \right)} \sin{\left(8 x \right)}\, dx = \left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}\right) + C$$$A