$$$y$$$에 대한 $$$\frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2}\, dy$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(y \right)} = \sin{\left(\pi n y \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2} d y}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(\pi n y \right)} d y}}{2}\right)}}$$

$$$u=\pi n y$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\pi n y\right)^{\prime }dy = \pi n dy$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dy = \frac{du}{\pi n}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(\pi n y \right)} d y}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi n} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{\pi n}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi n} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{\pi n}}}}{2}$$

사인 함수의 적분은 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2 \pi n} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2 \pi n}$$

다음 $$$u=\pi n y$$$을 기억하라:

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \pi n} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\pi n y}} \right)}}{2 \pi n}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2} d y} = - \frac{\cos{\left(\pi n y \right)}}{2 \pi n}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2} d y} = - \frac{\cos{\left(\pi n y \right)}}{2 \pi n}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(\pi n y \right)}}{2}\, dy = - \frac{\cos{\left(\pi n y \right)}}{2 \pi n} + C$$$A