$$$\sin^{6}{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int \sin^{6}{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

멱 감소 공식 $$$\sin^{6}{\left(\alpha \right)} = - \frac{15 \cos{\left(2 \alpha \right)}}{32} + \frac{3 \cos{\left(4 \alpha \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(6 \alpha \right)}}{32} + \frac{5}{16}$$$를 $$$\alpha=x$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\sin^{6}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{15 \cos{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{32} + \frac{5}{16}\right)d x}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{32}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = - 15 \cos{\left(2 x \right)} + 6 \cos{\left(4 x \right)} - \cos{\left(6 x \right)} + 10$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{15 \cos{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{32} + \frac{5}{16}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(- 15 \cos{\left(2 x \right)} + 6 \cos{\left(4 x \right)} - \cos{\left(6 x \right)} + 10\right)d x}}{32}\right)}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- 15 \cos{\left(2 x \right)} + 6 \cos{\left(4 x \right)} - \cos{\left(6 x \right)} + 10\right)d x}}}}{32} = \frac{{\color{red}{\left(\int{10 d x} - \int{15 \cos{\left(2 x \right)} d x} + \int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x} - \int{\cos{\left(6 x \right)} d x}\right)}}}{32}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=10$$$에 적용하십시오:

$$- \frac{\int{15 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{32} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{\int{\cos{\left(6 x \right)} d x}}{32} + \frac{{\color{red}{\int{10 d x}}}}{32} = - \frac{\int{15 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{32} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{\int{\cos{\left(6 x \right)} d x}}{32} + \frac{{\color{red}{\left(10 x\right)}}}{32}$$

$$$u=6 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(6 x\right)^{\prime }dx = 6 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{6}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{5 x}{16} - \frac{\int{15 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{32} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(6 x \right)} d x}}}}{32} = \frac{5 x}{16} - \frac{\int{15 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{32} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{6} d u}}}}{32}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{6}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{5 x}{16} - \frac{\int{15 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{32} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{6} d u}}}}{32} = \frac{5 x}{16} - \frac{\int{15 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{32} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{6}\right)}}}{32}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{5 x}{16} - \frac{\int{15 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{32} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{192} = \frac{5 x}{16} - \frac{\int{15 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{32} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{192}$$

다음 $$$u=6 x$$$을 기억하라:

$$\frac{5 x}{16} - \frac{\int{15 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{32} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{192} = \frac{5 x}{16} - \frac{\int{15 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{32} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(6 x\right)}} \right)}}{192}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=15$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{5 x}{16} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{{\color{red}{\int{15 \cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{32} = \frac{5 x}{16} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{{\color{red}{\left(15 \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}}{32}$$

$$$u=2 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{5 x}{16} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{15 {\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{32} = \frac{5 x}{16} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{15 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{32}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{5 x}{16} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{15 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{32} = \frac{5 x}{16} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{15 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{32}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{5 x}{16} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{15 {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{64} = \frac{5 x}{16} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{15 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{64}$$

다음 $$$u=2 x$$$을 기억하라:

$$\frac{5 x}{16} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{15 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{64} = \frac{5 x}{16} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}{32} - \frac{15 \sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{64}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=6$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{{\color{red}{\int{6 \cos{\left(4 x \right)} d x}}}}{32} = \frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{{\color{red}{\left(6 \int{\cos{\left(4 x \right)} d x}\right)}}}{32}$$

$$$u=4 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{4}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{3 {\color{red}{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}}}{16} = \frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{16}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{16} = \frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}}{16}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{3 {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{64} = \frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{3 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{64}$$

다음 $$$u=4 x$$$을 기억하라:

$$\frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{3 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{64} = \frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192} + \frac{3 \sin{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)}}{64}$$

따라서,

$$\int{\sin^{6}{\left(x \right)} d x} = \frac{5 x}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{64} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{192}$$

간단히 하시오:

$$\int{\sin^{6}{\left(x \right)} d x} = \frac{60 x - 45 \sin{\left(2 x \right)} + 9 \sin{\left(4 x \right)} - \sin{\left(6 x \right)}}{192}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\sin^{6}{\left(x \right)} d x} = \frac{60 x - 45 \sin{\left(2 x \right)} + 9 \sin{\left(4 x \right)} - \sin{\left(6 x \right)}}{192}+C$$

$$$\int \sin^{6}{\left(x \right)}\, dx = \frac{60 x - 45 \sin{\left(2 x \right)} + 9 \sin{\left(4 x \right)} - \sin{\left(6 x \right)}}{192} + C$$$A