$$$x$$$에 대한 $$$\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}$$$의 적분

$$$\int \frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=k$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{k \int{\frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}}$$

$$$u=\frac{x}{k}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{x}{k}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{k}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = k du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}} = k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

이 적분(사인 적분)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = k {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

다음 $$$u=\frac{x}{k}$$$을 기억하라:

$$k \operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = k \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\frac{x}{k}}} \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x} = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x} = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)}+C$$

$$$\int \frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}\, dx = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)} + C$$$A