$$$\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)}$$$의 적분

$$$\int \left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)}\, dt$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\cos{\left(t \right)} + 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)^{\prime }dt = - \sin{\left(t \right)} dt$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sin{\left(t \right)} dt = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(- u\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- u\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u d u}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$- {\color{red}{\int{u d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}$$

다음 $$$u=\cos{\left(t \right)} + 1$$$을 기억하라:

$$- \frac{{\color{red}{u}}^{2}}{2} = - \frac{{\color{red}{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)}}^{2}}{2}$$

따라서,

$$\int{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)} d t} = - \frac{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)^{2}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)} d t} = - \frac{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)^{2}}{2}+C$$

$$$\int \left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)}\, dt = - \frac{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)^{2}}{2} + C$$$A