$$$x$$$에 대한 $$$\sin^{2}{\left(\frac{\pi m x}{a} \right)}$$$의 적분

$$$\int \sin^{2}{\left(\frac{\pi m x}{a} \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{\pi m x}{a}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{\pi m x}{a}\right)^{\prime }dx = \frac{\pi m}{a} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{a du}{\pi m}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(\frac{\pi m x}{a} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{a \sin^{2}{\left(u \right)}}{\pi m} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{a}{\pi m}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sin^{2}{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{a \sin^{2}{\left(u \right)}}{\pi m} d u}}} = {\color{red}{\frac{a \int{\sin^{2}{\left(u \right)} d u}}{\pi m}}}$$

멱 감소 공식 $$$\sin^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2}$$$를 $$$\alpha= u $$$에 적용하세요:

$$\frac{a {\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{\pi m} = \frac{a {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)d u}}}}{\pi m}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = 1 - \cos{\left(2 u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{a {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)d u}}}}{\pi m} = \frac{a {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(1 - \cos{\left(2 u \right)}\right)d u}}{2}\right)}}}{\pi m}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{a {\color{red}{\int{\left(1 - \cos{\left(2 u \right)}\right)d u}}}}{2 \pi m} = \frac{a {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{\cos{\left(2 u \right)} d u}\right)}}}{2 \pi m}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\frac{a \left(- \int{\cos{\left(2 u \right)} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}}\right)}{2 \pi m} = \frac{a \left(- \int{\cos{\left(2 u \right)} d u} + {\color{red}{u}}\right)}{2 \pi m}$$

$$$v=2 u$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = \frac{dv}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{a \left(u - {\color{red}{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}}\right)}{2 \pi m} = \frac{a \left(u - {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}\right)}{2 \pi m}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{a \left(u - {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}\right)}{2 \pi m} = \frac{a \left(u - {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}\right)}{2 \pi m}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{a \left(u - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{2}\right)}{2 \pi m} = \frac{a \left(u - \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{2}\right)}{2 \pi m}$$

다음 $$$v=2 u$$$을 기억하라:

$$\frac{a \left(u - \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{2}\right)}{2 \pi m} = \frac{a \left(u - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}}{2}\right)}{2 \pi m}$$

다음 $$$u=\frac{\pi m x}{a}$$$을 기억하라:

$$\frac{a \left(- \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{2} + {\color{red}{u}}\right)}{2 \pi m} = \frac{a \left(- \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\frac{\pi m x}{a}}} \right)}}{2} + {\color{red}{\frac{\pi m x}{a}}}\right)}{2 \pi m}$$

따라서,

$$\int{\sin^{2}{\left(\frac{\pi m x}{a} \right)} d x} = \frac{a \left(- \frac{\sin{\left(\frac{2 \pi m x}{a} \right)}}{2} + \frac{\pi m x}{a}\right)}{2 \pi m}$$

간단히 하시오:

$$\int{\sin^{2}{\left(\frac{\pi m x}{a} \right)} d x} = - \frac{a \sin{\left(\frac{2 \pi m x}{a} \right)}}{4 \pi m} + \frac{x}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\sin^{2}{\left(\frac{\pi m x}{a} \right)} d x} = - \frac{a \sin{\left(\frac{2 \pi m x}{a} \right)}}{4 \pi m} + \frac{x}{2}+C$$

$$$\int \sin^{2}{\left(\frac{\pi m x}{a} \right)}\, dx = \left(- \frac{a \sin{\left(\frac{2 \pi m x}{a} \right)}}{4 \pi m} + \frac{x}{2}\right) + C$$$A