$$$\frac{\sec{\left(x \right)}}{\sec{\left(2 x \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sec{\left(x \right)}}{\sec{\left(2 x \right)}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

피적분함수를 다시 쓰십시오:

$${\color{red}{\int{\frac{\sec{\left(x \right)}}{\sec{\left(2 x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}} d x}}}$$

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{\frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(2 \cos{\left(x \right)} - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\right)d x}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(2 \cos{\left(x \right)} - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} d x} + \int{2 \cos{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

$$$\cos\left(x\right)=\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$$ 공식을 사용하여 코사인을 사인의 함수로 나타낸 다음, $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$ 배각공식을 사용하여 사인을 다시 쓰십시오.:

$$\int{2 \cos{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} d x}}} = \int{2 \cos{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}$$

분자와 분모에 $$$\sec^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$를 곱합니다.:

$$\int{2 \cos{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}} = \int{2 \cos{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} dx = 2 du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\int{2 \cos{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}} = \int{2 \cos{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\int{2 \cos{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \int{2 \cos{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

다음 $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$을 기억하라:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} + \int{2 \cos{\left(x \right)} d x} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)} + \int{2 \cos{\left(x \right)} d x}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$$에 적용하세요:

$$- \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)} + {\color{red}{\int{2 \cos{\left(x \right)} d x}}} = - \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)} + {\color{red}{\left(2 \int{\cos{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(x \right)} d x} = \sin{\left(x \right)}$$$:

$$- \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)} + 2 {\color{red}{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}} = - \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)} + 2 {\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sec{\left(x \right)}}{\sec{\left(2 x \right)}} d x} = - \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sec{\left(x \right)}}{\sec{\left(2 x \right)}} d x} = - \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sec{\left(x \right)}}{\sec{\left(2 x \right)}}\, dx = \left(- \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right) + 2 \sin{\left(x \right)}\right) + C$$$A