$$$\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{9 \tan^{2}{\left(x \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{9 \tan^{2}{\left(x \right)}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{9}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{9 \tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}{9}\right)}}$$

$$$u=\tan{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tan{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} d x}}}}{9} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}}{9}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=-2$$$에 적용합니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}}{9}=\frac{{\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}}{9}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}}{9}=\frac{{\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}}{9}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}}{9}$$

다음 $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$- \frac{{\color{red}{u}}^{-1}}{9} = - \frac{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{-1}}{9}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{9 \tan^{2}{\left(x \right)}} d x} = - \frac{1}{9 \tan{\left(x \right)}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{9 \tan^{2}{\left(x \right)}} d x} = - \frac{1}{9 \tan{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{9 \tan^{2}{\left(x \right)}}\, dx = - \frac{1}{9 \tan{\left(x \right)}} + C$$$A