$$$- \tan{\left(x \right)} + \sec{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int \left(- \tan{\left(x \right)} + \sec{\left(x \right)}\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(- \tan{\left(x \right)} + \sec{\left(x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\tan{\left(x \right)} d x} + \int{\sec{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

탄젠트를 $$$\tan\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$$$ 형태로 다시 쓰십시오:

$$\int{\sec{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\tan{\left(x \right)} d x}}} = \int{\sec{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$u=\cos{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \sin{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sin{\left(x \right)} dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\int{\sec{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x}}} = \int{\sec{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$에 적용하세요:

$$\int{\sec{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = \int{\sec{\left(x \right)} d x} - {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\int{\sec{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \int{\sec{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

다음 $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} + \int{\sec{\left(x \right)} d x} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}}\right| \right)} + \int{\sec{\left(x \right)} d x}$$

시컨트를 $$$\sec\left(x\right)=\frac{1}{\cos\left(x\right)}$$$로 다시 쓰세요:

$$\ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\sec{\left(x \right)} d x}}} = \ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$\cos\left(x\right)=\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$$ 공식을 사용하여 코사인을 사인의 함수로 나타낸 다음, $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$ 배각공식을 사용하여 사인을 다시 쓰십시오.:

$$\ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} d x}}} = \ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}$$

분자와 분모에 $$$\sec^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$를 곱합니다.:

$$\ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}} = \ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} dx = 2 du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}} = \ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

다음 $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$을 기억하라:

$$\ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}$$

따라서,

$$\int{\left(- \tan{\left(x \right)} + \sec{\left(x \right)}\right)d x} = \ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(- \tan{\left(x \right)} + \sec{\left(x \right)}\right)d x} = \ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \left(- \tan{\left(x \right)} + \sec{\left(x \right)}\right)\, dx = \left(\ln\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|\right) + \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right)\right) + C$$$A