$$$\frac{\pi \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\pi \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{\pi}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin{\left(x \right)}}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\pi \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\pi \int{\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin{\left(x \right)}}} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=\sin{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \cos{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\cos{\left(x \right)} dx = du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\frac{\pi {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin{\left(x \right)}}} d x}}}}{2} = \frac{\pi {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}}{2}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=- \frac{1}{2}$$$에 적용합니다:

$$\frac{\pi {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}}{2}=\frac{\pi {\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}}{2}=\frac{\pi {\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}}{2}=\frac{\pi {\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}}{2}=\frac{\pi {\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}}{2}$$

다음 $$$u=\sin{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\pi \sqrt{{\color{red}{u}}} = \pi \sqrt{{\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}}$$

따라서,

$$\int{\frac{\pi \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}}} d x} = \pi \sqrt{\sin{\left(x \right)}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\pi \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}}} d x} = \pi \sqrt{\sin{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int \frac{\pi \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)}}}\, dx = \pi \sqrt{\sin{\left(x \right)}} + C$$$A