$$$x$$$에 대한 $$$\frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(a\right)}$$$의 적분

$$$\int \frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(a\right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{\ln{\left(a \right)}}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{\ln{\left(a \right)}} d x}}} = {\color{red}{\frac{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}{\ln{\left(a \right)}}}}$$

적분 $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}}{\ln{\left(a \right)}}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}}{\ln{\left(a \right)}}=\frac{{\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\frac{x \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{1 d x}}}}{\ln{\left(a \right)}} = \frac{x \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{x}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

따라서,

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{\ln{\left(a \right)}} d x} = \frac{x \ln{\left(x \right)} - x}{\ln{\left(a \right)}}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{\ln{\left(a \right)}} d x} = \frac{x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)}{\ln{\left(a \right)}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{\ln{\left(a \right)}} d x} = \frac{x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)}{\ln{\left(a \right)}}+C$$

$$$\int \frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(a\right)}\, dx = \frac{x \left(\ln\left(x\right) - 1\right)}{\ln\left(a\right)} + C$$$A