$$$64 \sec^{4}{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int 64 \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=64$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \sec^{4}{\left(x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{64 \sec^{4}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(64 \int{\sec^{4}{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

시컨트 두 개를 떼어 내고, $$$\alpha=x$$$에 대해 $$$\sec^2\left( \alpha \right)=\tan^2\left( \alpha \right) + 1$$$ 공식을 사용하여 나머지는 모두 탄젠트로 표현하세요.:

$$64 {\color{red}{\int{\sec^{4}{\left(x \right)} d x}}} = 64 {\color{red}{\int{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tan{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$64 {\color{red}{\int{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}} = 64 {\color{red}{\int{\left(u^{2} + 1\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$64 {\color{red}{\int{\left(u^{2} + 1\right)d u}}} = 64 {\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{u^{2} d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$64 \int{u^{2} d u} + 64 {\color{red}{\int{1 d u}}} = 64 \int{u^{2} d u} + 64 {\color{red}{u}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=2$$$에 적용합니다:

$$64 u + 64 {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=64 u + 64 {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=64 u + 64 {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

다음 $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$64 {\color{red}{u}} + \frac{64 {\color{red}{u}}^{3}}{3} = 64 {\color{red}{\tan{\left(x \right)}}} + \frac{64 {\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{3}}{3}$$

따라서,

$$\int{64 \sec^{4}{\left(x \right)} d x} = \frac{64 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + 64 \tan{\left(x \right)}$$

간단히 하시오:

$$\int{64 \sec^{4}{\left(x \right)} d x} = \frac{64 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan{\left(x \right)}}{3}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{64 \sec^{4}{\left(x \right)} d x} = \frac{64 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan{\left(x \right)}}{3}+C$$

$$$\int 64 \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx = \frac{64 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan{\left(x \right)}}{3} + C$$$A