$$$x$$$에 대한 $$$\frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$x=\sinh{\left(u \right)} \left|{a}\right|$$$라 하자.

따라서 $$$dx=\left(\sinh{\left(u \right)} \left|{a}\right|\right)^{\prime }du = \cosh{\left(u \right)} \left|{a}\right| du$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$u=\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} \sinh^{2}{\left( u \right)} + a^{2}}}$$$

$$$\sinh^{2}{\left( u \right)} + 1 = \cosh^{2}{\left( u \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{1}{\sqrt{a^{2} \sinh^{2}{\left( u \right)} + a^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)} + 1} \left|{a}\right|}=\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)}} \left|{a}\right|}$$$

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)}} \left|{a}\right|} = \frac{1}{\cosh{\left( u \right)} \left|{a}\right|}$$$

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

다음 $$$u=\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$$을 기억하라:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} d x} = \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} d x} = \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}\, dx = \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)} + C$$$A