$$$\frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{1}{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{25 u^{2} - 1}}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{25 u^{2} - 1}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{25 u^{2} - 1}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sqrt{25 u^{2} - 1}} d u}\right)}}$$

$$$u=\frac{\cosh{\left(v \right)}}{5}$$$라 하자.

따라서 $$$du=\left(\frac{\cosh{\left(v \right)}}{5}\right)^{\prime }dv = \frac{\sinh{\left(v \right)}}{5} dv$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$v=\operatorname{acosh}{\left(5 u \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{1}{\sqrt{25 u ^{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1}}$$$

$$$\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( v \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$\sinh{\left( v \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{\sinh{\left( v \right)}}$$$

따라서,

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{25 u^{2} - 1}} d u}}} = - {\color{red}{\int{\frac{1}{5} d v}}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dv = c v$$$을 $$$c=\frac{1}{5}$$$에 적용하십시오:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{5} d v}}} = - {\color{red}{\left(\frac{v}{5}\right)}}$$

다음 $$$v=\operatorname{acosh}{\left(5 u \right)}$$$을 기억하라:

$$- \frac{{\color{red}{v}}}{5} = - \frac{{\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(5 u \right)}}}}{5}$$

다음 $$$u=\frac{1}{x}$$$을 기억하라:

$$- \frac{\operatorname{acosh}{\left(5 {\color{red}{u}} \right)}}{5} = - \frac{\operatorname{acosh}{\left(5 {\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}}{5}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}} d x} = - \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{5}{x} \right)}}{5}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}} d x} = - \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{5}{x} \right)}}{5}+C$$

$$$\int \frac{1}{x \sqrt{25 - x^{2}}}\, dx = - \frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{5}{x} \right)}}{5} + C$$$A