$$$3 \sin^{2}{\left(t \right)} + 18 \sin{\left(t \right)} + \frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} + 1$$$의 적분

$$$\int \left(3 \sin^{2}{\left(t \right)} + 18 \sin{\left(t \right)} + \frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} + 1\right)\, dt$$$을(를) 구하시오.

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(3 \sin^{2}{\left(t \right)} + 18 \sin{\left(t \right)} + \frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} + 1\right)d t}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d t} + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{3 \sin^{2}{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dt = c t$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{3 \sin^{2}{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + {\color{red}{\int{1 d t}}} = \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{3 \sin^{2}{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + {\color{red}{t}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=3$$$와 $$$f{\left(t \right)} = \sin^{2}{\left(t \right)}$$$에 적용하세요:

$$t + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + {\color{red}{\int{3 \sin^{2}{\left(t \right)} d t}}} = t + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + {\color{red}{\left(3 \int{\sin^{2}{\left(t \right)} d t}\right)}}$$

멱 감소 공식 $$$\sin^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2}$$$를 $$$\alpha=t$$$에 적용하세요:

$$t + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + 3 {\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(t \right)} d t}}} = t + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + 3 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)d t}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(t \right)} = 1 - \cos{\left(2 t \right)}$$$에 적용하세요:

$$t + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + 3 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)d t}}} = t + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + 3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(1 - \cos{\left(2 t \right)}\right)d t}}{2}\right)}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$t + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + \frac{3 {\color{red}{\int{\left(1 - \cos{\left(2 t \right)}\right)d t}}}}{2} = t + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + \frac{3 {\color{red}{\left(\int{1 d t} - \int{\cos{\left(2 t \right)} d t}\right)}}}{2}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dt = c t$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$t + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} - \frac{3 \int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}{2} + \frac{3 {\color{red}{\int{1 d t}}}}{2} = t + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} - \frac{3 \int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}{2} + \frac{3 {\color{red}{t}}}{2}$$

$$$u=2 t$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 t\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dt = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{5 t}{2} + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} - \frac{3 {\color{red}{\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}}}{2} = \frac{5 t}{2} + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{5 t}{2} + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2} = \frac{5 t}{2} + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} - \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{5 t}{2} + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} - \frac{3 {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{5 t}{2} + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} - \frac{3 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

다음 $$$u=2 t$$$을 기억하라:

$$\frac{5 t}{2} + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} - \frac{3 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{5 t}{2} + \int{18 \sin{\left(t \right)} d t} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} - \frac{3 \sin{\left({\color{red}{\left(2 t\right)}} \right)}}{4}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=18$$$와 $$$f{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{5 t}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{4} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + {\color{red}{\int{18 \sin{\left(t \right)} d t}}} = \frac{5 t}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{4} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + {\color{red}{\left(18 \int{\sin{\left(t \right)} d t}\right)}}$$

사인 함수의 적분은 $$$\int{\sin{\left(t \right)} d t} = - \cos{\left(t \right)}$$$:

$$\frac{5 t}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{4} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + 18 {\color{red}{\int{\sin{\left(t \right)} d t}}} = \frac{5 t}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{4} + \int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t} + 18 {\color{red}{\left(- \cos{\left(t \right)}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=\frac{86}{21}$$$와 $$$f{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{5 t}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{4} - 18 \cos{\left(t \right)} + {\color{red}{\int{\frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} d t}}} = \frac{5 t}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{4} - 18 \cos{\left(t \right)} + {\color{red}{\left(\frac{86 \int{\cos{\left(t \right)} d t}}{21}\right)}}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(t \right)} d t} = \sin{\left(t \right)}$$$:

$$\frac{5 t}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{4} - 18 \cos{\left(t \right)} + \frac{86 {\color{red}{\int{\cos{\left(t \right)} d t}}}}{21} = \frac{5 t}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{4} - 18 \cos{\left(t \right)} + \frac{86 {\color{red}{\sin{\left(t \right)}}}}{21}$$

따라서,

$$\int{\left(3 \sin^{2}{\left(t \right)} + 18 \sin{\left(t \right)} + \frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} + 1\right)d t} = \frac{5 t}{2} + \frac{86 \sin{\left(t \right)}}{21} - \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{4} - 18 \cos{\left(t \right)}$$

간단히 하시오:

$$\int{\left(3 \sin^{2}{\left(t \right)} + 18 \sin{\left(t \right)} + \frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} + 1\right)d t} = \frac{210 t + 344 \sin{\left(t \right)} - 63 \sin{\left(2 t \right)} - 1512 \cos{\left(t \right)}}{84}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(3 \sin^{2}{\left(t \right)} + 18 \sin{\left(t \right)} + \frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} + 1\right)d t} = \frac{210 t + 344 \sin{\left(t \right)} - 63 \sin{\left(2 t \right)} - 1512 \cos{\left(t \right)}}{84}+C$$

$$$\int \left(3 \sin^{2}{\left(t \right)} + 18 \sin{\left(t \right)} + \frac{86 \cos{\left(t \right)}}{21} + 1\right)\, dt = \frac{210 t + 344 \sin{\left(t \right)} - 63 \sin{\left(2 t \right)} - 1512 \cos{\left(t \right)}}{84} + C$$$A