$$$x$$$에 대한 $$$- b^{- x} + a^{- x}$$$의 적분

$$$\int \left(- b^{- x} + a^{- x}\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(- b^{- x} + a^{- x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{a^{- x} d x} - \int{b^{- x} d x}\right)}}$$

$$$u=- x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- \int{b^{- x} d x} + {\color{red}{\int{a^{- x} d x}}} = - \int{b^{- x} d x} + {\color{red}{\int{\left(- a^{u}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = a^{u}$$$에 적용하세요:

$$- \int{b^{- x} d x} + {\color{red}{\int{\left(- a^{u}\right)d u}}} = - \int{b^{- x} d x} + {\color{red}{\left(- \int{a^{u} d u}\right)}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{u} d u} = \frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=a$$$:

$$- \int{b^{- x} d x} - {\color{red}{\int{a^{u} d u}}} = - \int{b^{- x} d x} - {\color{red}{\frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}}}$$

다음 $$$u=- x$$$을 기억하라:

$$- \int{b^{- x} d x} - \frac{a^{{\color{red}{u}}}}{\ln{\left(a \right)}} = - \int{b^{- x} d x} - \frac{a^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

$$$u=- x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- {\color{red}{\int{b^{- x} d x}}} - \frac{a^{- x}}{\ln{\left(a \right)}} = - {\color{red}{\int{\left(- b^{u}\right)d u}}} - \frac{a^{- x}}{\ln{\left(a \right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = b^{u}$$$에 적용하세요:

$$- {\color{red}{\int{\left(- b^{u}\right)d u}}} - \frac{a^{- x}}{\ln{\left(a \right)}} = - {\color{red}{\left(- \int{b^{u} d u}\right)}} - \frac{a^{- x}}{\ln{\left(a \right)}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{u} d u} = \frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=b$$$:

$${\color{red}{\int{b^{u} d u}}} - \frac{a^{- x}}{\ln{\left(a \right)}} = {\color{red}{\frac{b^{u}}{\ln{\left(b \right)}}}} - \frac{a^{- x}}{\ln{\left(a \right)}}$$

다음 $$$u=- x$$$을 기억하라:

$$\frac{b^{{\color{red}{u}}}}{\ln{\left(b \right)}} - \frac{a^{- x}}{\ln{\left(a \right)}} = \frac{b^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{\ln{\left(b \right)}} - \frac{a^{- x}}{\ln{\left(a \right)}}$$

따라서,

$$\int{\left(- b^{- x} + a^{- x}\right)d x} = \frac{b^{- x}}{\ln{\left(b \right)}} - \frac{a^{- x}}{\ln{\left(a \right)}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(- b^{- x} + a^{- x}\right)d x} = \frac{b^{- x}}{\ln{\left(b \right)}} - \frac{a^{- x}}{\ln{\left(a \right)}}+C$$

$$$\int \left(- b^{- x} + a^{- x}\right)\, dx = \left(\frac{b^{- x}}{\ln\left(b\right)} - \frac{a^{- x}}{\ln\left(a\right)}\right) + C$$$A