$$$\ln\left(z^{2}\right)$$$의 적분

$$$\int \ln\left(z^{2}\right)\, dz$$$을(를) 구하시오.

입력이 다음과 같이 다시 쓰입니다: $$$\int{\ln{\left(z^{2} \right)} d z}=\int{2 \ln{\left(z \right)} d z}$$$.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(z \right)} = \ln{\left(z \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{2 \ln{\left(z \right)} d z}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(z \right)} d z}\right)}}$$

적분 $$$\int{\ln{\left(z \right)} d z}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(z \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=dz$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(z \right)}\right)^{\prime }dz=\frac{dz}{z}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d z}=z$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$2 {\color{red}{\int{\ln{\left(z \right)} d z}}}=2 {\color{red}{\left(\ln{\left(z \right)} \cdot z-\int{z \cdot \frac{1}{z} d z}\right)}}=2 {\color{red}{\left(z \ln{\left(z \right)} - \int{1 d z}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dz = c z$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$2 z \ln{\left(z \right)} - 2 {\color{red}{\int{1 d z}}} = 2 z \ln{\left(z \right)} - 2 {\color{red}{z}}$$

따라서,

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \ln{\left(z \right)} - 2 z$$

간단히 하시오:

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \left(\ln{\left(z \right)} - 1\right)$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \left(\ln{\left(z \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(z^{2}\right)\, dz = 2 z \left(\ln\left(z\right) - 1\right) + C$$$A