$$$\frac{z}{z - \frac{3}{2}}$$$의 적분

$$$\int \frac{z}{z - \frac{3}{2}}\, dz$$$을(를) 구하시오.

Simplify:

$${\color{red}{\int{\frac{z}{z - \frac{3}{2}} d z}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 z}{2 z - 3} d z}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(z \right)} = \frac{z}{2 z - 3}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{2 z}{2 z - 3} d z}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{z}{2 z - 3} d z}\right)}}$$

피적분함수의 분자를 $$$z=\frac{1}{2}\left(2 z - 3\right)+\frac{3}{2}$$$로 다시 쓰고 분수를 분해하세요:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{z}{2 z - 3} d z}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2 \left(2 z - 3\right)}\right)d z}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$2 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2 \left(2 z - 3\right)}\right)d z}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{2} d z} + \int{\frac{3}{2 \left(2 z - 3\right)} d z}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dz = c z$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$에 적용하십시오:

$$2 \int{\frac{3}{2 \left(2 z - 3\right)} d z} + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d z}}} = 2 \int{\frac{3}{2 \left(2 z - 3\right)} d z} + 2 {\color{red}{\left(\frac{z}{2}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$을 $$$c=\frac{3}{2}$$$와 $$$f{\left(z \right)} = \frac{1}{2 z - 3}$$$에 적용하세요:

$$z + 2 {\color{red}{\int{\frac{3}{2 \left(2 z - 3\right)} d z}}} = z + 2 {\color{red}{\left(\frac{3 \int{\frac{1}{2 z - 3} d z}}{2}\right)}}$$

$$$u=2 z - 3$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 z - 3\right)^{\prime }dz = 2 dz$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dz = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$z + 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 z - 3} d z}}} = z + 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$에 적용하세요:

$$z + 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} = z + 3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$z + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = z + \frac{3 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

다음 $$$u=2 z - 3$$$을 기억하라:

$$z + \frac{3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = z + \frac{3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(2 z - 3\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

따라서,

$$\int{\frac{z}{z - \frac{3}{2}} d z} = z + \frac{3 \ln{\left(\left|{2 z - 3}\right| \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{z}{z - \frac{3}{2}} d z} = z + \frac{3 \ln{\left(\left|{2 z - 3}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{z}{z - \frac{3}{2}}\, dz = \left(z + \frac{3 \ln\left(\left|{2 z - 3}\right|\right)}{2}\right) + C$$$A