$$$y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}}$$$의 적분

$$$\int y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}}\, dy$$$을(를) 구하시오.

$$$u=y^{2}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(y^{2}\right)^{\prime }dy = 2 y dy$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$y dy = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{u e^{\frac{u}{2}}}{2} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u e^{\frac{u}{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{u e^{\frac{u}{2}}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u e^{\frac{u}{2}} d u}}{2}\right)}}$$

적분 $$$\int{u e^{\frac{u}{2}} d u}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{\mu} \operatorname{dv} = \operatorname{\mu}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\mu}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{\mu}=u$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{\frac{u}{2}} du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{d\mu}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{\frac{u}{2}} d u}=2 e^{\frac{u}{2}}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{{\color{red}{\int{u e^{\frac{u}{2}} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \cdot 2 e^{\frac{u}{2}}-\int{2 e^{\frac{u}{2}} \cdot 1 d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(2 u e^{\frac{u}{2}} - \int{2 e^{\frac{u}{2}} d u}\right)}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$$$에 적용하세요:

$$u e^{\frac{u}{2}} - \frac{{\color{red}{\int{2 e^{\frac{u}{2}} d u}}}}{2} = u e^{\frac{u}{2}} - \frac{{\color{red}{\left(2 \int{e^{\frac{u}{2}} d u}\right)}}}{2}$$

$$$v=\frac{u}{2}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = 2 dv$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\int{e^{\frac{u}{2}} d u}}} = u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$에 적용하세요:

$$u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}} = u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\left(2 \int{e^{v} d v}\right)}}$$

지수 함수의 적분은 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$입니다:

$$u e^{\frac{u}{2}} - 2 {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = u e^{\frac{u}{2}} - 2 {\color{red}{e^{v}}}$$

다음 $$$v=\frac{u}{2}$$$을 기억하라:

$$u e^{\frac{u}{2}} - 2 e^{{\color{red}{v}}} = u e^{\frac{u}{2}} - 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}}$$

다음 $$$u=y^{2}$$$을 기억하라:

$$- 2 e^{\frac{{\color{red}{u}}}{2}} + {\color{red}{u}} e^{\frac{{\color{red}{u}}}{2}} = - 2 e^{\frac{{\color{red}{y^{2}}}}{2}} + {\color{red}{y^{2}}} e^{\frac{{\color{red}{y^{2}}}}{2}}$$

따라서,

$$\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y} = y^{2} e^{\frac{y^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{y^{2}}{2}}$$

간단히 하시오:

$$\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y} = \left(y^{2} - 2\right) e^{\frac{y^{2}}{2}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y} = \left(y^{2} - 2\right) e^{\frac{y^{2}}{2}}+C$$

$$$\int y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}}\, dy = \left(y^{2} - 2\right) e^{\frac{y^{2}}{2}} + C$$$A